蔣守成 : 常州市金壇區(qū)東城實驗小學(xué)校長，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，常州市特級校長，江蘇省“333工程”培養(yǎng)對象，江蘇省鄉(xiāng)村骨干教師培育站優(yōu)秀主持人，常州市名師工作室優(yōu)秀領(lǐng)銜人，常州市教育領(lǐng)軍人才。出版了小學(xué)數(shù)學(xué)讀本《走進你知道嗎》、主題思維叢書《圖形王國》等著作。

編者按：觸類旁通是指“掌握了關(guān)于某一事物的知識，而推知同類中其他事物”。觸類旁通不僅是教師教學(xué)的一種手段，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，通過觸類旁通達到融會貫通。

數(shù)學(xué)主題拓展教學(xué)有三個基本要素：主題、拓展、思維。主題是思維的起跑線，拓展是思維的發(fā)動機，目標(biāo)是促進學(xué)生形成系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)化的思維方式。在這樣的教學(xué)范式下，學(xué)生的思維方式有了很大的變化，特別是在結(jié)構(gòu)化的思維方式上有了很大的提升，能夠從一課習(xí)得的思想方法運用到相類似的或者緊密聯(lián)系的“這一類”數(shù)學(xué)問題解決中，學(xué)會舉一反三、觸類旁通達到融會貫通。下面，以四年級主題拓展課“省刻度尺”一課為例，談?wù)勅绾巫寣W(xué)生學(xué)會觸類旁通學(xué)數(shù)學(xué)。

 課前思考

選擇以“省刻度尺”為主題作進行拓展教學(xué)，主要是基于以下思考：一是“省刻度尺”問題既是“以少表示多”的典型問題，也是華羅庚統(tǒng)籌優(yōu)化思想的具體表現(xiàn)。二是“省刻度尺”的研究適合學(xué)生去自我探究和發(fā)現(xiàn)，可以為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)服務(wù)，為解讀生活中的現(xiàn)象提供經(jīng)驗。三是省刻度尺的教學(xué)是對人教版教材四年級上冊數(shù)學(xué)廣角統(tǒng)籌、優(yōu)化學(xué)習(xí)內(nèi)容的拓展。四是通過省刻度尺的教學(xué)幫助學(xué)生將生活中相關(guān)聯(lián)的這一類形成系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的思考。

教學(xué)時經(jīng)歷了三個板塊的學(xué)習(xí)：一是引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷省刻度尺的形成過程，明晰什么是省刻度尺，并能判斷什么樣的刻度尺是省刻度尺。二是學(xué)生利用最省最優(yōu)的方法自我創(chuàng)造一把省刻度尺，感受有序思考的策略。三是類的拓展，抓住用少表示多等本質(zhì)特征拓展到同類問題，逐步體悟省的學(xué)問和省的智慧。省刻度尺問題的研究，創(chuàng)造了學(xué)生主動思考的事件，幫助學(xué)生能將生活中的問題通過數(shù)學(xué)化的處理達到最省，最優(yōu)，效率最大化的效果。

教學(xué)過程

一、聚焦主題，形成類結(jié)構(gòu)。

（一）經(jīng)歷數(shù)學(xué)家一樣的探究過程，明晰什么是省刻度尺。

   1.共同探究省了一個刻度的情況。

師：今天的數(shù)學(xué)研究從一把5厘米長的直尺開始。

提問：用這把直尺量出3厘米，你們說怎么量？

生：從0量到3就可以量出3厘米。

提問：刻度3被老師省掉了（如下圖），你還能用這把直尺一下子量出3厘米嗎？說說你是怎么想的？ 

生1：沒有刻度3我們可以從刻度1量到刻度4 

生2：我們也可以從刻度2量到刻度5

師：雖然沒有刻度3，但同們學(xué)改變了我們的測量方法，由一直從0刻度開始量改成從1或2開始量，打破了固有的習(xí)慣，同學(xué)們，我們有的時候解決問題要打破常規(guī)，找到了解決問題的新路徑。

現(xiàn)在我們將測量3厘米的方法記錄了下來，3 （1-4）（2-5），請同學(xué)們其他刻度也用這種方式表示出來。

有序板書： 1（0-1）（1-2）（4-5），

                  2（0-2）（2-4），

                 3（1-4）（2-5）

                 4（0-4）（1-5），

                 5（0-5）

2．自主探究省兩個刻度和三個刻度的情況。

師：省掉一個刻度，我們照樣能一次量出所有刻度中的任意一個刻度。如果這把5厘米的尺子省掉兩個刻度或者三個，你覺得還能不能一次量出所有的刻度中的任意一個刻度呢？我們一起來研究：

（1）問題：下面這兩把直尺一次能量出哪些長度？先想一想，然后把你能量出的所有長度清楚地記錄在作業(yè)紙上。

（2）比較：剛才我們分別研究了5厘米的刻度尺省掉一個刻度、省掉兩個刻度都能夠一次量出所有刻度中的任何一個，省掉三個刻度的直尺不能全部量出來，你覺得哪把直尺上的刻度省的恰到好處，有技術(shù)含量，覺得很神奇？說說你的想法？ 

（3）分享：省了一個刻度雖然可以一次量出1到5厘米之間任意一個整厘米長度，但是用到的刻度還是多了一個，不是最省刻度的；省了3個刻度，但1到5厘米之間有些整厘米的長度卻無法一次度量出來，顯然是刻度省的太多；省了兩個刻度不僅能夠一次度量出1到5厘米之間任意一個整厘米的長度，而且用到的刻度也是最省的，這把直尺上的刻度省的恰到好處是最神奇的。

（4）由來：如果要你給這把最省刻度的直尺起個名字，你會把它叫什么呢？

其實這種特殊刻度尺是英國數(shù)學(xué)游戲大師杜德尼，早在一百多年前就發(fā)現(xiàn)了，命名為省刻度尺，我們一起來看一段微視頻。

英國數(shù)學(xué)游戲大師杜登尼在100多年前發(fā)現(xiàn)：一根23cm長的尺子，通過最省、最優(yōu)的辦法只須6個刻度（頭尾不用刻），就能夠度量出1~23任何整數(shù)厘米長的物品，如果減少一個刻度就不能量出所有的刻度，如果增加一個刻度就不是:最省，我們把這種尺被稱作“省刻度尺”

（5）標(biāo)準(zhǔn)：什么樣的刻度尺才是省刻度尺？標(biāo)準(zhǔn)是什么？

討論得到不僅要能一次量出所有長度中的任意一個，而且要刻度最省。

（6）判斷：下面的刻度尺是不是省刻度尺。

下面是一把7厘米長的直尺，0和7之間只有2個刻度，它是不是一把省刻度尺？先把能量出的長度有序的記錄在作業(yè)紙上，然后再想一想它是不是省刻度尺。

生：不能量出3厘米，其他刻度都能量出來， 所以不是省刻度尺。

師： 根據(jù)老師的研究0和7之間至少要有3個刻度才能成為省刻度尺，那么再添一個刻度使它成為一把省刻度尺，請你添一個并把記錄補充完整。

生：添3剛好有了3，(0,2,3,6,7)；添,4，4到7是3  (0,2,4,6,7) ，   添5，2到5是3。（0,2,5,6,7）

師：同樣缺3厘米，添的數(shù)不同，得到的省刻度尺也不同。看來解決一個問題的答案布置一種，我們不能把之一當(dāng)唯一，其實7厘米中間添上3個刻度成為一把省刻度尺還有更多的方法。

除了從1開始想，(0,1,2,5,7)  (0,1,3,5,7) (0,1,4,5,7) ，還可以從2開始想(0,2,3,6,7) (0,2,4,6,7) （0,2,5,6,7），也可以從3、4開始想，開始(0,3,4,6,7)  (0,3,5,6,7) (0,4,5,6,7) 這樣有序的思考可以幫助我們尋找到更多解決問題的辦法，帶著這樣的思考我們一起來創(chuàng)造一把省刻度尺。

（二）引導(dǎo)學(xué)生利用最省最優(yōu)的方法創(chuàng)造一把省刻度尺。

問題：這是一把6厘米長的刻度尺，請你添上最少的刻度，設(shè)計成一把省刻度尺呢？（呈現(xiàn)學(xué)生作業(yè)單如下）

提問：仔細觀察我們添加的這些刻度，你覺得我們在添加這些刻度時有什么方法可循嗎？

小結(jié)：不管添加哪2個數(shù)，4個數(shù)中至少要有兩個數(shù)是相鄰的，然后我們可以再進行比較和調(diào)整，達到最省最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)。

讓學(xué)生運用省的方法、省的策略自己設(shè)計一把省刻度尺，在設(shè)計的過程中體驗省的方法和策略，為后續(xù)進一步研究省刻度尺里是否存在一般規(guī)律的問題提供經(jīng)驗。

二、運用類結(jié)構(gòu)、觸類旁通。

（一）引導(dǎo)學(xué)生利用省的智慧解決學(xué)習(xí)和生活中一類問題。

問題一：量角器上的省刻度。

師：直尺中的刻度省了照樣可以量出所有的刻度，哪我們認識的量角器里的刻度可不可以省呢？ （出示：一把不完整的量角器）利用這把量角器你可以一次量出哪些角度？同桌先獨立思考，然后交流，兩個人形成共識后向全班展示。

 學(xué)生分享：10°（ 0° —  10°）    20°（10°—  30°）

                  30°（ 0° —  30°）    50°（30°—  80°）

                  70°（10°—  80°）     80°（ 0° —  80°）

追問：除了可以量出以上這些度數(shù)外還可以量出哪些度數(shù)？

   學(xué)生討論得出還可以從右邊180度考慮例如量出

170°（10°— 180°）    150°（30°— 180°）  ……

問題二：人民幣中的省面額。

師：我們在研究直尺、量角器過程中發(fā)現(xiàn)“雖然刻度省了，但照樣能量出更多的長度或角度”，省不僅是一種學(xué)問，省也是一種智慧，在我們的日常生活中，省無處不在，除了省刻度，我們經(jīng)常用的人民幣中也用到了“省的智慧”。

同學(xué)們你知道嗎？為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2、元、5元和10元，而沒有3元、6元等其他面值呢。

學(xué)生分享：

生1：用1元、2元、5元就可以通過比較少的加減運算得到另外一些數(shù)，1+2=3，2+2=4，1+5=6，2+5=7，10-2=8，10-1=9。

生2：現(xiàn)在我們2元都省掉了，只是運算次數(shù)都了而已。

生3：現(xiàn)在都用微信和支付寶，都不需要紙幣了。

……

微視頻介紹：為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2元、5元和10元，這四種。

抓住“省刻度尺”的本質(zhì)，同時結(jié)合生活實際進行拓展，延伸到同類問題，進行觸類旁通的學(xué)習(xí)，讓學(xué)進一步體會到省的智慧、省的學(xué)問。

課后思考

這節(jié)課有多個版本，以上是我在銀川全國名師工作室博覽會上的一個版本。這節(jié)課是以省刻度為主題，帶給孩子獨立的思考、自由的探索的數(shù)學(xué)品質(zhì)。在過程中感受以少表示多的神奇之處，獲得省的學(xué)問，同時從一個到一類來拓展學(xué)生對統(tǒng)籌和優(yōu)化思想認識的域，為后續(xù)更好的解釋數(shù)學(xué)和生活中的優(yōu)選法和統(tǒng)籌法中最優(yōu)化等問題服務(wù)。例如，學(xué)生學(xué)完省刻度就能理解和解釋其他相鄰的兩個面積單位的進率都是100，那為什么公頃和平方米的進率卻是10000的道理。關(guān)于人民幣的面值，學(xué)生們還會思考，中國古代貨幣的面值是怎樣設(shè)計的？外國的貨幣的面值是怎樣設(shè)計的？未來的貨幣又會怎么樣呢？在成都舉行的數(shù)學(xué)素養(yǎng)研討會上我執(zhí)教的《省刻度尺》的另外一個版本，將省刻度尺作為數(shù)學(xué)名題為主題，拓展到一類名題，教給學(xué)生觸類旁通學(xué)數(shù)學(xué)的本領(lǐng)。所謂觸類旁通學(xué)數(shù)學(xué)就是讓學(xué)生掌握某一個問題具體解決的辦法，然后就能推知同類問題解決”?！坝|類旁通”不僅是教師教學(xué)的一種手段，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，通過觸類旁通從而融會貫通。

——原文發(fā)表《河北教育》2020年12期

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)東城實驗小學(xué)）