蔣守成： 常州市金壇區(qū)東城實(shí)驗(yàn)小學(xué)校長(zhǎng)，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，常州市特級(jí)校長(zhǎng)，江蘇省“333工程”培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省鄉(xiāng)村骨干教師培育站優(yōu)秀主持人，常州市名師工作室優(yōu)秀領(lǐng)銜人，常州市教育領(lǐng)軍人才。出版了小學(xué)數(shù)學(xué)讀本《走進(jìn)你知道嗎》、主題思維叢書《圖形王國》等著作。

編者按：新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來，“拓展”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中逐漸成為一種常態(tài)，它拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)渠道，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引領(lǐng)學(xué)生走向思維更深處。那么，如何通過拓展教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生去探究數(shù)學(xué)中的來龍去脈，去發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)密碼，去理解數(shù)學(xué)的古往今來，邁向數(shù)學(xué)的廣闊天地？從本期開始，我們邀請(qǐng)?zhí)丶?jí)教師蔣守成來談一談他如何通過主題拓展教學(xué)，真正落實(shí)數(shù)學(xué)拓展在學(xué)科中獨(dú)特地位和育人的價(jià)值，敬請(qǐng)關(guān)注。

在已有教材內(nèi)容基礎(chǔ)上，在不改變當(dāng)下教材體系的前提下，通過資源整合、融通，用主題的方式進(jìn)行拓展教學(xué)，這是我們研究并傳承華羅庚的一條龍教學(xué)法思想提出的教學(xué)主張。

一、主題拓展教學(xué)的內(nèi)涵解析

所謂主題拓展教學(xué)，是以“發(fā)展思維”為核心，以“提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”為目標(biāo)，圍繞有價(jià)值的主題“牽一發(fā)”而“動(dòng)”學(xué)生已有知識(shí)與能力體系的“全身”，將課內(nèi)外零碎散落的數(shù)學(xué)內(nèi)容統(tǒng)整起來，促進(jìn)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化思考的開放式教學(xué)。

“主題拓展教學(xué)”不是讓學(xué)生獲得更多的零散的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是師生共同經(jīng)歷的一段智慧之旅，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維方式，獲得數(shù)學(xué)的基本思想，掌握解決問題的關(guān)鍵能力，從而通過數(shù)學(xué)更好的認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，解決現(xiàn)實(shí)世界中有挑戰(zhàn)性的問題。

主題拓展教學(xué)是基于教材進(jìn)行課程開發(fā)形態(tài)的一種教學(xué)主張，是學(xué)生基于主題有序聯(lián)想合作探究的一種深度學(xué)習(xí)形態(tài)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的充分廣度、充分深度和充分關(guān)聯(lián)度，全面提升學(xué)生的高階思維水平。 

二、主題拓展教學(xué)的組織實(shí)施

“主題”是學(xué)生思維的“起跑線”，是“主題拓展教學(xué)”的“魂”，它既是教學(xué)活動(dòng)的主線，也是生發(fā)學(xué)生思維的“核心”， 例如教材中的核心概念、核心問題、數(shù)學(xué)名題、“你知道嗎”欄目，生活中的三角板、一張白紙等都可以作為拓展主題；“拓展”是是學(xué)生思維的“發(fā)動(dòng)機(jī)”，是數(shù)學(xué)主題教學(xué)的方式，主題拓展教學(xué)主動(dòng)幫助學(xué)生打通數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)，打通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，打通數(shù)學(xué)世界與生活世界的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生自我構(gòu)建數(shù)學(xué)主題系統(tǒng)，進(jìn)行主題拓展式學(xué)習(xí)；在此基礎(chǔ)上進(jìn)行主題拓展課程的開發(fā)，構(gòu)建沒有固定圓心和半徑的師生學(xué)習(xí)圈，給孩子們創(chuàng)造一個(gè)五彩繽紛的數(shù)學(xué)生活。

1.循“序”推斷，把握知識(shí)的邏輯之鏈，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維方式。

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容本身是按照一定的邏輯關(guān)系形成一定的整體性和系統(tǒng)性，但往往會(huì)出現(xiàn)割裂和離散的現(xiàn)象，這就需要梳理和推斷形成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

例如：按照正常的邏輯關(guān)系相鄰的兩個(gè)面積單位的進(jìn)率應(yīng)該都是100，那為什么公頃和平方米的進(jìn)率是10000呢？同樣的道理每相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位的進(jìn)率是10，為什么千米到米的進(jìn)率是1000呢？這會(huì)給學(xué)生的系統(tǒng)化認(rèn)知造成障礙。因此，我們可以從問題出發(fā)，圍繞面積單位這個(gè)主題追本溯源，在求聯(lián)中推理，明晰其中的原理。

首先，理清面積單位進(jìn)率的序。通過課前資料查找，學(xué)生明白土地面積單位教材呈現(xiàn)的只是其中的一個(gè)部分，原來的公制面積單位公畝(a)已經(jīng)不再使用，教材也就沒有做介紹。因?yàn)?公畝等于100平方米，如果將公畝算進(jìn)去每相鄰兩個(gè)面積單位的進(jìn)率都是100。那為什么教材不把公畝放在里面進(jìn)行教學(xué)呢，一是數(shù)學(xué)優(yōu)化的結(jié)果，二是擔(dān)心和單位“畝”混淆。

其次，按規(guī)定序進(jìn)行合理推斷。邊長(zhǎng)是100米的正方形土地面積是1公頃，為什么要這樣規(guī)定？原來相鄰的長(zhǎng)度單位的進(jìn)率也都是10，只是10米和百米和公畝一樣在實(shí)踐過程中優(yōu)化了。按照面積規(guī)定的序：邊長(zhǎng)為1厘米、1分米、1米、10米的正方形的大小分別1平方厘米、1平方分米、1平方米、1公畝，學(xué)生由此進(jìn)行合理推斷得到邊長(zhǎng)是百米的正方形土地面積是1公頃，再大一點(diǎn)就是邊長(zhǎng)1千米的正方形為 1平方千米大小，這樣的數(shù)學(xué)化的推算過程為學(xué)生滲透了數(shù)學(xué)推理的思想，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平方千米找到了路徑，形成了正遷移。

教材編寫時(shí)會(huì)強(qiáng)調(diào)概念和命題之間的邏輯結(jié)構(gòu)，會(huì)按照學(xué)生認(rèn)知的序列進(jìn)行科學(xué)的編排。例如圖形的面積計(jì)算，從長(zhǎng)方形（正方形）的面積計(jì)算開始，到平行四邊面積計(jì)算，再到三角形面積計(jì)算、梯形面積計(jì)算，最后到圓的面積計(jì)算。我們僅僅看到這種線性的、單向的“邏輯結(jié)構(gòu)”顯然是不夠的。

例如，我們?cè)诮虒W(xué)三角形面積時(shí)就不僅僅滿足于轉(zhuǎn)化成平行四邊形這一個(gè)路徑，還可以通過折紙的方式轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。教學(xué)圓的面積時(shí)也不僅僅滿足于轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，還可以轉(zhuǎn)化成三角形、梯形。同理梯形不僅可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形也可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

圖形之間可以多元相互轉(zhuǎn)化的，打破了由于教學(xué)的先后次序所形成的邏輯線索的束縛，在平面圖形面積之間建立更為廣泛的聯(lián)系，形成了結(jié)構(gòu)化表達(dá)，也意味著內(nèi)部的“線索”更加豐富。

2.融通整合，主題關(guān)聯(lián)零碎散落的教學(xué)資源，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新系統(tǒng)獲得新見解。

研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)者所掌握的知識(shí)以一種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方式進(jìn)行排列的時(shí)候，就可以大大提高知識(shí)的提取應(yīng)用的效率，從而提高解決問題的能力。數(shù)學(xué)主題拓展教學(xué)從主題出發(fā)，通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)主動(dòng)構(gòu)聯(lián)相關(guān)內(nèi)容，形成縱橫交錯(cuò)，有機(jī)互補(bǔ)的新的主題結(jié)構(gòu)，隨著經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的生長(zhǎng)，將不斷豐富該結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新的系統(tǒng)，獲得新的見解。

例如，學(xué)習(xí)圓柱體的體積后有這樣一道題：選一張長(zhǎng)方形紙，卷成兩個(gè)大小不同的圓柱，分別算出體積。與同學(xué)交流，怎樣卷圓柱的體積比較大？

我們發(fā)現(xiàn)，教師的處理方式大都是：給出具體的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生計(jì)算得出結(jié)論，然后讓學(xué)生記住以長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)時(shí)卷成的體積大。學(xué)生通過計(jì)算獲得答案，然后形成經(jīng)驗(yàn)。那么，這種經(jīng)驗(yàn)一定是正確的嗎？有沒有更好的方法呢？由此，我們以“圓柱體的再認(rèn)識(shí)”為主題進(jìn)行拓展教學(xué)，從而對(duì)學(xué)生對(duì)圓柱的體積、表面積構(gòu)建更豐富的系統(tǒng)，獲得新的見解。

首先，構(gòu)建圓柱體體積方法的新系統(tǒng)。

圓柱體的體積是由長(zhǎng)方體的體積轉(zhuǎn)化的來的，因?yàn)殚L(zhǎng)方體有三個(gè)不同的面，所以體積就有三種不同的表達(dá)，由此推斷圓柱體的體積應(yīng)該有三種不同的表達(dá)形式，讓學(xué)生構(gòu)建體積方法的新模型，獲得解決問題的新路徑。我們可以尋找到一般的方法進(jìn)行證明誰卷成的體積大。如果將拼成的長(zhǎng)方體翻轉(zhuǎn)，即原來圓柱側(cè)面積的一半作底，就可以得到新的方法，底面積的一半乘半徑。

學(xué)生運(yùn)用剛才的推導(dǎo)公式來解釋為什么以A4紙長(zhǎng)邊為周長(zhǎng)卷出來的圓柱的體積大。如圖，側(cè)面積一樣的情況下，半徑越大，體積越大。同樣道理，將一張長(zhǎng)方形A4紙分別以長(zhǎng)和寬為半徑旋轉(zhuǎn)形成的圓柱體哪個(gè)大？如圖，通過推斷得到新的求體積的方法，可以推斷出結(jié)論。

通過兩個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題，豐富了圓柱和長(zhǎng)方體體積之間的聯(lián)系，使學(xué)生更好地體會(huì)推理基本思想的價(jià)值。

其次，構(gòu)建圓柱體表面積方法的新系統(tǒng)。

“一個(gè)圓柱的表面積是240平方分米，其中底面半徑是高的五分之三，求圓柱的側(cè)面積是多少？”通過問題引發(fā)學(xué)生的思考，然后通過圖示轉(zhuǎn)化形成新方法（如圖）。

通過“圓柱體再認(rèn)識(shí)”這一主題進(jìn)一步讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)知識(shí)間內(nèi)在的邏輯機(jī)理，幫助學(xué)生建立清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，將原本散落在教材中的散點(diǎn)知識(shí)以結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的模型呈現(xiàn)出來，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供系統(tǒng)化的思維路徑。

3.主題研究，創(chuàng)造學(xué)生“主動(dòng)思考”的關(guān)鍵事件，幫助學(xué)生獲取解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵能力。

除了通過循序推斷、融通整合促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)化的思維方式，更需要向?qū)W生展現(xiàn)真實(shí)世界的復(fù)雜和多變。讓他們有可能在非常規(guī)、非線性的復(fù)雜問題求解過程中，重組經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，歷練系統(tǒng)思維。

（1）選擇現(xiàn)實(shí)的有挑戰(zhàn)性的問題進(jìn)行主題研究。

例如，五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行《住房面積有多大》的主題研究。問題有：學(xué)生如何運(yùn)用學(xué)到的規(guī)則圖形面積的知識(shí)，去解決實(shí)際生活中不規(guī)則圖形的面積問題？對(duì)于住房面積中的實(shí)際使用面積、墻體面積、公攤建筑面積等概念，學(xué)生如何運(yùn)用已經(jīng)學(xué)會(huì)的面積知識(shí)來理解？使用圖紙計(jì)算和通過實(shí)際測(cè)量計(jì)算哪種方法好？實(shí)際測(cè)量的面積和房產(chǎn)證上的面積的區(qū)別有哪些？在研究中，學(xué)生經(jīng)歷了收集數(shù)據(jù)、作出假設(shè)、建立模型、實(shí)踐檢驗(yàn)、作出決策等過程。

像這樣的主題研究活動(dòng)，我們已經(jīng)形成了系列。例如：六年級(jí)膠帶紙有多長(zhǎng)、四年級(jí)媽媽有多少根頭發(fā)、五年級(jí)樹葉的面積有多大等，帶領(lǐng)他們走向更廣闊的數(shù)學(xué)世界，感悟數(shù)學(xué)思維精髓與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的魅力。

（2）選擇經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行主題研究。

我們對(duì)小學(xué)生能懂的經(jīng)典的數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)名題，如“冰雹猜想”、“四色問題”、“孿生素?cái)?shù)猜想”、“李白喝酒”、“省刻度尺”等進(jìn)行主題拓展研究。給學(xué)生種下一顆數(shù)學(xué)研究的種子，讓他們能夠有機(jī)會(huì)盡早接觸經(jīng)典問題，經(jīng)歷和數(shù)學(xué)家一樣的研究歷程，并在解決問題的過程中，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，沉淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“主題拓展教學(xué)”的探索，打破了傳統(tǒng)的以“課”為組織、以知識(shí)“點(diǎn)”為單位的固化教學(xué)框架，明顯跳出以單純課堂教學(xué)組織方式改良的范疇，拓展了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的渠道，豐富了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施提供了新的視角，也積累了經(jīng)驗(yàn)。

——發(fā)表《河北教育》2020年1期

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)東城實(shí)驗(yàn)小學(xué)）