和是偶數(shù)的可能性小——不對(duì)嗎？

湖北省荊門(mén)市鐘祥市郢中街辦莫愁小學(xué)  周俊玲

評(píng)析 湖北省荊門(mén)市小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室主持人  周齊才

【案例】  

片段一： 

     “有分別寫(xiě)著1～20的20張卡片，任意抽兩張，將卡片上的數(shù)相加，和是雙數(shù)的可能性小。（   ）”這是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)江作業(yè)本》同步練習(xí)冊(cè)第38頁(yè)第四單元《可能性》第1課時(shí)中的一道判斷題。

       前段時(shí)間，我在教學(xué)《可能性》這個(gè)知識(shí)時(shí)，遇到了這道題。起初，很多學(xué)生和同事都一致認(rèn)為和是偶數(shù)的可能性大，這個(gè)題判“×”。理由是：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。兩數(shù)相加的和有3種情況，而偶數(shù)占2種，故判這道題為×。乍一聽(tīng)好像有道理，但仔細(xì)一推敲卻不認(rèn)同，我覺(jué)得此題并不是他們說(shuō)的這樣簡(jiǎn)單，應(yīng)該先根據(jù)“組合”，看有多少個(gè)和，再看這些和中奇數(shù)和偶數(shù)分別有多少個(gè)。順著這個(gè)思路，我一一列舉后發(fā)現(xiàn)：兩數(shù)相加的和有190個(gè)，偶數(shù)占90個(gè)，奇數(shù)占100個(gè)。和是偶數(shù)的可能性小，所以應(yīng)判“P”。

       當(dāng)我和身邊的同事交流自己的觀點(diǎn)時(shí)，有的老師說(shuō)：這個(gè)題哪有這么復(fù)雜，這么多數(shù)字，舉例太麻煩了，你想多了。有的老師說(shuō)：這是《長(zhǎng)江作業(yè)本》中的題，掃碼得知答案是×，搜題軟件也說(shuō)是×，我們應(yīng)該相信答案；還有的老師說(shuō)：一個(gè)判斷題而已，你也太較真了。

面對(duì)同事的反駁和不屑，我再次陷入沉思：“如果真那樣分析的話，豈不是所有這類(lèi)題的結(jié)論都是和為偶數(shù)的可能性大？” 

       如果覺(jué)得這個(gè)題數(shù)字多，太復(fù)雜，那我們就先從簡(jiǎn)單的入手：：從寫(xiě)有1、2、3、4的四張卡片中，任意抽兩張，將卡片上的數(shù)字相加，和是偶數(shù)的可能性（   ）。運(yùn)用組合的知識(shí)，兩數(shù)相加，可以得到：1+2=3、1+3=4、1+4=5、2+3=5、2+4=6、、3+4=7，和是偶數(shù)的有2個(gè)，和是奇數(shù)的有4個(gè)，和是偶數(shù)的可能性小。其實(shí)仔細(xì)研究，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：2+4=6運(yùn)用的是“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”，1+3=4運(yùn)用的是“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”，剩余4個(gè)奇數(shù)的和是運(yùn)用“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”得到的。會(huì)不會(huì)是湊巧？我又試了幾組：1、2、3、4、5、6和2、3、7、10、13、14。無(wú)論是運(yùn)用組合知識(shí)，通過(guò)一一列舉，還是根據(jù)奇偶相加比較，最終都是和為偶數(shù)的可能性小。

       再回到作業(yè)中的那道題，這道題應(yīng)該與教材第50頁(yè)“綜合與實(shí)踐”課“擲一擲”中的擲骰子的教學(xué)思路如出一轍。雖然從理論上分析兩數(shù)相加的和可以通過(guò)“奇數(shù)+奇數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)”這3種途徑得到，但最終和只有奇數(shù)、偶數(shù)2種情況。其中：奇數(shù)+奇數(shù)時(shí)，可以得到45個(gè)偶數(shù)的和；偶數(shù)+偶數(shù)時(shí)，也可以得到45個(gè)偶數(shù)的和；奇數(shù)+偶數(shù)時(shí)，能得到100個(gè)奇數(shù)的和。當(dāng)然我們也可以用列表的方法把這些和一一排列出來(lái)（具體過(guò)程附后）。這樣一來(lái)，兩數(shù)相加的和就有190個(gè)，偶數(shù)占90個(gè)，奇數(shù)占100個(gè)。確實(shí)和是偶數(shù)的可能性小。 

      反復(fù)驗(yàn)證后，最終，我得出一個(gè)結(jié)論：無(wú)論是數(shù)字少，還是數(shù)字多，其實(shí)和都只有奇數(shù)、偶數(shù)2種，都可以通過(guò)奇數(shù)+偶數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)這3種途徑得到，但是要比較和的奇偶性，必須看所有和中奇數(shù)與偶數(shù)分別有多少個(gè)。當(dāng)我再次和同事探討時(shí)，我詳細(xì)地講解了自己的思路，他們又感覺(jué)是這個(gè)理，不再反駁。

      一一列舉，分析：

       和是奇數(shù)：100個(gè)                     和是偶數(shù)：90個(gè)（可能性小）

        分類(lèi)列舉，分析：

分析：

     1.   表中把1-20這20個(gè)自然數(shù)分成10個(gè)奇數(shù)，10個(gè)偶數(shù)。根據(jù)“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”可知：有10×10=100個(gè)奇數(shù)的和。

     2.   從2、4、6、8、10、12、14、16、18、20這10個(gè)偶數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù)相加，根據(jù)“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”可知：共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個(gè)偶數(shù)的和。

    3.   從1、3、5、7、9、11、13、15、17、19這10個(gè)奇數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù)相加，根據(jù)“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”可知：也有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個(gè)偶數(shù)的和。

這樣，一共有45×2=90個(gè)偶數(shù)的和。

故：和是偶數(shù)的可能性小。

片段二：

      有了清晰的思路，接下來(lái)在給學(xué)生講解這道題時(shí)，一開(kāi)始我沒(méi)有急著否定他們的觀點(diǎn)，而是先給了另一組數(shù)據(jù)“1、2、3、4”，引導(dǎo)他們討論交流，思維活躍的同學(xué)迅速有了想法：1+2=3、1+3=4、1+4=5、2+3=5、2+4=6、3+4=7，和是偶數(shù)的有2個(gè)，和是奇數(shù)的有4個(gè)，和是偶數(shù)的可能性小。思路打開(kāi)了，“同學(xué)們能不能自己試著寫(xiě)一組數(shù)字，小組內(nèi)交流一下？”順勢(shì)利導(dǎo)，我讓學(xué)生自己嘗試研究。

   很快，大多數(shù)同學(xué)從原來(lái)的思維胡同跳出來(lái)了，“這不就是利用組合的知識(shí)，先把兩數(shù)相加的和有序地列舉出來(lái)嗎？”有幾個(gè)同學(xué)興奮地說(shuō)到?！罢f(shuō)得很好！如果把這4張卡片改為1～20張卡片呢？”我看到有的同學(xué)立馬按照“組合”的方法，耐心細(xì)致地在寫(xiě)著兩數(shù)相加的算式，幾分鐘后，“周老師，這也太多了，我都寫(xiě)了好多了還沒(méi)寫(xiě)完。”“是的，太多了?！庇行┎荒蜔┑耐瑢W(xué)叫嚷著?！叭绻衙恳粋€(gè)算式都完整地寫(xiě)出來(lái)，確實(shí)很麻煩，借助表格可以大大提高效率，大家再想想。”“哦，我們可以像擲骰子那樣用表格來(lái)一一列舉?！薄皩W(xué)以致用，老師給你們點(diǎn)贊！”接下來(lái)，我給每一個(gè)小組發(fā)了一張事先準(zhǔn)備好的表格，讓他們小組討論，共同完成表格……

  “利用表格雖然稍微快一點(diǎn)，但同學(xué)們不覺(jué)得這樣也有些麻煩嗎？這可是只有20張卡片？如果再多些卡片呢？除了一一列舉，到底還有沒(méi)有藏著什么規(guī)律呢？大家想不想繼續(xù)探究一下？”“想！”“那咱們還是先回到簡(jiǎn)單的1-4張卡片上來(lái)?！苯酉聛?lái)，我引導(dǎo)學(xué)生把4張卡片分成1和3兩個(gè)奇數(shù)、2和4兩個(gè)偶數(shù)，再根據(jù)“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”得到奇數(shù)的和有2×2=4個(gè)，再根據(jù)“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”、“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”得到偶數(shù)的和共有2個(gè)，得出和是偶數(shù)的可能性小?！?-6張卡片呢？”同學(xué)們迅速自己試著分類(lèi)進(jìn)行分析?！爸芾蠋煟野l(fā)現(xiàn)把這6個(gè)數(shù)字分成3個(gè)奇數(shù)，3個(gè)偶數(shù)后，直接用3×3就可以知道有9個(gè)奇數(shù)的和；而從1、3、5這3個(gè)奇數(shù)中任選兩個(gè)數(shù)字相加時(shí)，可以得到2+1=3個(gè)偶數(shù)的和；從2、4、6這3個(gè)偶數(shù)中任選兩個(gè)數(shù)字相加時(shí)，也可以得到2+1=3個(gè)偶數(shù)的和。一共有6個(gè)偶數(shù)的和，和是偶數(shù)的可能性小?！薄拔乙彩沁@樣想的，我覺(jué)得這樣分類(lèi)來(lái)計(jì)算很簡(jiǎn)單。”“同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)非常有價(jià)值！當(dāng)我們遇到數(shù)字比較繁多的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以從簡(jiǎn)單的數(shù)字入手分析，找尋其中的規(guī)律，總結(jié)解題的方法，再利用規(guī)律舉一反三。下面我們就利用這個(gè)規(guī)律一起來(lái)分析一下1~20張卡片中的奧秘。”……

  “如果是1~100張卡片、1~n張卡片呢？同學(xué)們想不想一探究竟？”課后，有興趣的同學(xué)快速?lài)轿疑磉叄臀医涣髯约旱南敕??！翱磥?lái)你們這節(jié)課的收獲不小啊，老師十分期待你們的探究結(jié)果喲！”看到孩子們興趣盎然的樣子，一絲欣慰之情在我的心底油然而生，我很高興：有一顆“興趣”的種子在孩子們的頭腦中萌芽了！

片段三：

     2021年11月4日，我參加了湖北省“校對(duì)縣”精準(zhǔn)幫扶培訓(xùn)活動(dòng)，有幸和專(zhuān)家團(tuán)隊(duì)的老師零距離交流。交流會(huì)上，我大膽地向周齊才校長(zhǎng)請(qǐng)教了這個(gè)問(wèn)題，“看來(lái)你是一個(gè)功底很深的數(shù)學(xué)教師，堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)，‘不唯書(shū)、不唯上、只唯實(shí)’，我同意你的觀點(diǎn)，這個(gè)題的確和擲骰子的算理類(lèi)似。這是一個(gè)非常好的教學(xué)案例，我建議你把這個(gè)案例寫(xiě)出來(lái)。”還沒(méi)等我問(wèn)完，周校長(zhǎng)已迫不及待地答道。在場(chǎng)參訓(xùn)的其他老師也提出了和同事開(kāi)始一樣的質(zhì)疑，他認(rèn)為：運(yùn)用高中數(shù)學(xué)里的組合知識(shí)，和是偶數(shù)的可能性小，而小學(xué)階段應(yīng)該按照奇偶相加來(lái)理解，和是偶數(shù)的可能性大?！巴坏琅袛囝}，怎么會(huì)有兩種相反的答案呢？”周校長(zhǎng)反問(wèn)道。

      第一次這樣面對(duì)面向?qū)＜艺?qǐng)教，能得到周校長(zhǎng)的鼓勵(lì)和肯定，內(nèi)心一絲小竊喜，好似得到了權(quán)威機(jī)構(gòu)認(rèn)證一樣，埋在我心中的疑云徹底消散了，也讓我更加堅(jiān)定了自己最初的想法。

【反思】

     1、教師要勇于提出質(zhì)疑。

     數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，容不得半點(diǎn)含糊。

     在教學(xué)中，如果遇到這種有爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一定要大膽質(zhì)疑，不要一味相信作業(yè)中的答案，也不要被他人左右自己的思路。還要認(rèn)真思考，反復(fù)研究，通過(guò)舉例或推理驗(yàn)證等方法得出正確結(jié)論。

      正如周校長(zhǎng)所說(shuō)：大多數(shù)老師遇到這樣的問(wèn)題，也許就簡(jiǎn)單略過(guò)了，能夠執(zhí)著鉆研的最后可能就成了數(shù)學(xué)家。作為一名普通的數(shù)學(xué)教師，即便不能成為數(shù)學(xué)家，我們也要有自己的思想，努力用自己的思想去引領(lǐng)學(xué)生“思”、“辨”、“理”，和學(xué)生一起探討數(shù)學(xué)的奧秘。。

    2、教師要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法。

    猜想、轉(zhuǎn)化、推理、枚舉、化繁為簡(jiǎn)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法。當(dāng)我們遇到數(shù)據(jù)較大或較多的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不妨先從小數(shù)據(jù)入手分析。這次培訓(xùn)學(xué)習(xí)，袁志剛老師和周金鳳老師執(zhí)教的《植樹(shù)問(wèn)題》一課，都把例題中的數(shù)字由大變小，效果甚好！     

    教師不僅要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，還要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，“回到最簡(jiǎn)單的情形”，這是華羅庚教授所倡導(dǎo)的！這樣更能看清問(wèn)題的本質(zhì)。正是基于這種數(shù)學(xué)思想，上面片段二中，我也是先引導(dǎo)學(xué)生從小數(shù)據(jù)著手分析，待學(xué)生有了初步感知后，我又大膽放手讓他們自己試著寫(xiě)一組數(shù)字研究，再引導(dǎo)學(xué)生由簡(jiǎn)到繁找尋這類(lèi)問(wèn)題蘊(yùn)含的規(guī)律，最后拓展提升：“1~100張卡片、1~n張卡片呢？”由始至終，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，留給學(xué)生充足的探究空間和時(shí)間，讓他們親歷知識(shí)的形成過(guò)程，更好地掌握數(shù)學(xué)技能，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣。又何樂(lè)而不為呢！

    3、教師要成為終身學(xué)習(xí)者。              

習(xí)近平總書(shū)記在慶祝第30個(gè)教師節(jié)到來(lái)時(shí)，勉勵(lì)全國(guó)廣大教師“做好老師，要有扎實(shí)學(xué)識(shí)”。扎實(shí)的知識(shí)功底、過(guò)硬的教學(xué)能力、勤勉的教學(xué)態(tài)度、科學(xué)的教學(xué)方法是老師的基本素質(zhì)，其中知識(shí)是根本基礎(chǔ)。

教師作為傳道、授業(yè)、解惑者，要想給學(xué)生一碗水，自己就要有一桶水；要做一名新時(shí)代的好老師，更要有一潭活水，要為學(xué)生“引來(lái)水源”，教會(huì)孩子們學(xué)習(xí)的方法和思想。陶行知先生說(shuō)：“出世便是破蒙，進(jìn)棺材才算畢業(yè)?！边@就要求老師始終處于學(xué)習(xí)狀態(tài)，站在知識(shí)發(fā)展的前沿，刻苦鉆研、嚴(yán)謹(jǐn)篤學(xué)，不斷充實(shí)、拓展、提高自己。   

     【評(píng)析】這是一個(gè)很好的教學(xué)案例，主要體現(xiàn)在：

      1.選題具有挑戰(zhàn)性。在作業(yè)中善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從爭(zhēng)議入手，用科學(xué)方法澄清疑惑，研究的過(guò)程也具有趣味性、探究性。

      2.方法具有科學(xué)性。解決問(wèn)題的方法、所涉及的知識(shí)都在學(xué)生能力所及范圍內(nèi)，即學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，通過(guò)問(wèn)題的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展全過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；當(dāng)一個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，“回到最簡(jiǎn)單的情形” 這是華羅庚教授所倡導(dǎo)的！這樣更能看清問(wèn)題的本質(zhì)；通過(guò)列表、分類(lèi)討論等多種方法，得出結(jié)論，層層遞進(jìn)，有理有據(jù)，讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，也學(xué)到探究問(wèn)題的方法。

     3.教師具有示范性。教師引領(lǐng)學(xué)生“不唯書(shū)、不唯上、只唯實(shí)”，是一個(gè)優(yōu)秀教師的科學(xué)精神。引導(dǎo)學(xué)生敢于質(zhì)疑，不迷信權(quán)威，就是創(chuàng)新意識(shí)的萌芽。

                                                 2021.11.10

周齊才：湖北省骨干教師，湖北省教學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)理事，荊門(mén)市名師，荊門(mén)市小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室主持人?，F(xiàn)任荊門(mén)市石化第一小學(xué)副校長(zhǎng)。

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