廣東省林偉名師工作室 林偉
【基金項(xiàng)目】國(guó)家“萬(wàn)人計(jì)劃”領(lǐng)軍人才、廣東省“特支計(jì)劃”、廣東省名師工作室聯(lián)合資助，廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐”階段性成果之一（課題批號(hào)：2018ZQJK018）
摘要 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，探索思意教學(xué)的基本內(nèi)涵和價(jià)值，構(gòu)建思意數(shù)學(xué)教學(xué)策略與模式，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)。
關(guān)鍵詞 思意數(shù)學(xué) 基本內(nèi)涵 核心價(jià)值 思維品質(zhì)
當(dāng)下，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在著知識(shí)本位、教學(xué)方法單一、師生情感缺失等為考而教、為教而教現(xiàn)象。首先，存在一些形式化的“生本教育”，看似以學(xué)生為中心組織開展教育教學(xué)工作，實(shí)際上，沒有從科學(xué)地為學(xué)生提供認(rèn)知背景，也無(wú)涉關(guān)心學(xué)生的思維發(fā)展、提升和外化；此外，教學(xué)方式僵化缺乏靈活性、適應(yīng)性，理應(yīng)靈活安排教學(xué)環(huán)節(jié)和流程，卻變成為了迎合先進(jìn)理念理論，選擇不符合學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)方式；最后，隨著學(xué)習(xí)場(chǎng)景多樣化的變革，需要打通學(xué)校學(xué)習(xí)和社區(qū)學(xué)習(xí)，但是現(xiàn)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)存在僅局限于學(xué)校和課堂，此舉不利于學(xué)生感知到數(shù)學(xué)是有用的，是和生活息息相關(guān)的。
一、思意數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)涵
1.何謂思意數(shù)學(xué)教學(xué)
“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)，就是強(qiáng)調(diào)以問題為主線，以思維訓(xùn)練為核心，是一種以問題為本的教學(xué)形式。教師以教學(xué)相關(guān)知識(shí)為背景，靈活創(chuàng)設(shè)問題的情境，有效進(jìn)行問題開發(fā)與設(shè)計(jì)，把學(xué)生的情感活動(dòng)與認(rèn)知活動(dòng)結(jié)合起來(lái)，為學(xué)生拓寬廣遠(yuǎn)的意境，激起學(xué)生的想象，如此由近及遠(yuǎn)，由此及彼，由表及里。學(xué)生的聯(lián)想及想象能力也就在其中得到了較好的發(fā)展。
2. 思意數(shù)學(xué)教學(xué)的思想
思意教學(xué)強(qiáng)調(diào)把教材內(nèi)容與數(shù)學(xué)情境聯(lián)系起來(lái)，拓寬學(xué)生廣遠(yuǎn)的意境，通過(guò)廣遠(yuǎn)意境激發(fā)學(xué)生的想象，培養(yǎng)學(xué)生正確思維品質(zhì)和思維方法。在教學(xué)過(guò)程中要“有序”和“啟動(dòng)”。
所謂有序就是根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生有規(guī)律地去學(xué)習(xí)，學(xué)生在思考遞進(jìn)的過(guò)程中，教師有序地對(duì)學(xué)生思維的指點(diǎn)和引導(dǎo)，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)和思考的方法，循序漸進(jìn)地發(fā)展智力、培養(yǎng)能力。
所謂啟動(dòng)就是學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)要求，尋找到科學(xué)的學(xué)習(xí)和思考的方法。學(xué)生在教師的設(shè)疑激學(xué)下，學(xué)生通過(guò)觀察、閱讀、思考、表達(dá)、討論、練習(xí)、交流，從而掌握新知識(shí)，發(fā)展自己的智能，培養(yǎng)思維能力。
思意教學(xué)是以“有序”和“啟動(dòng)”相互相成有機(jī)結(jié)合，協(xié)同發(fā)展，打好基礎(chǔ)，提升思維能力。
3. 思意數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)
思意數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)建了“教材——教師——學(xué)生”三位一體，形成了“知識(shí)概念系統(tǒng)——教法步驟系統(tǒng)——認(rèn)識(shí)思維系統(tǒng)”。符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)教師“導(dǎo)”的功能和學(xué)生“學(xué)”的功能，真正意義把教材變成學(xué)材，拓寬了學(xué)生廣遠(yuǎn)的意境，開啟了學(xué)生思維,把教材表現(xiàn)為“活動(dòng)”,呈現(xiàn)出“過(guò)程”的引導(dǎo)系統(tǒng)。如下圖：
二、思意數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價(jià)值
“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)是學(xué)生從“思”到“意”的過(guò)程，學(xué)生起始于問題思索，通過(guò)學(xué)習(xí)感受到數(shù)學(xué)的意蘊(yùn)。在此教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、靈活性、創(chuàng)造性、廣闊性、敏捷性、批判性。在“思意數(shù)學(xué)”課堂中，學(xué)生主動(dòng)地探索數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)技能和培育數(shù)學(xué)思維。簡(jiǎn)圖如下：
三、思意數(shù)學(xué)教學(xué)策略與模式
思意數(shù)學(xué)教學(xué)以知識(shí)為載體，以思維過(guò)程為主線，以問題為手段，合理組織教材，學(xué)生在教師的指導(dǎo)和幫助下，最大限度地完成自主學(xué)習(xí)的過(guò)程。在教師和學(xué)生的共同活動(dòng)中，整合各種學(xué)習(xí)資源，創(chuàng)設(shè)生生互助、師生互動(dòng)的學(xué)習(xí)情境，以知識(shí)和技能為載體，引發(fā)學(xué)生思考，激活學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。
1.實(shí)施以下教學(xué)策略與模式：“一抓住”、“兩增加”、“三貫徹”、“四注重”、“五環(huán)節(jié)”。
“一抓住”：緊緊抓住新課程理念來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)；使用教學(xué)材料與資源；選擇教學(xué)行為與組織形式；創(chuàng)新教學(xué)方案的編寫方法等。
“兩增加”：增加學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間，讓學(xué)生有探究、合作、傾聽的機(jī)會(huì)，啟迪學(xué)生智慧生成的思維場(chǎng)；增加學(xué)生自我展示的機(jī)會(huì)，創(chuàng)造“生生、師生”互動(dòng)的情感場(chǎng)，促進(jìn)學(xué)生有效參與。
“三貫徹”：自始至終貫徹一條符合學(xué)生實(shí)踐的問題線；自始至終貫徹一條激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中共同探究和充分發(fā)掘?qū)W生的思維本質(zhì)的思維線；自始至終貫徹一條讓不同的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得到不同程度的發(fā)展的發(fā)展線。
“四注重”：一是注重教育的喚醒、激勵(lì)、發(fā)展的功能，合理設(shè)計(jì)問題的起點(diǎn)和梯度，激發(fā)學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)能力；二是注重思維相近的學(xué)生之間的交流和幫助，激發(fā)“生生、師生”之間的情感體驗(yàn)；三是注重學(xué)生思維能力的訓(xùn)練和思維品質(zhì)的提升，加強(qiáng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)；四是注重教師的主導(dǎo)作用，實(shí)現(xiàn)自我身心的從經(jīng)驗(yàn)走向智慧，實(shí)現(xiàn)感性與理性之合一、知性與悟性之交融。
“五環(huán)節(jié)”課堂結(jié)構(gòu)：
激學(xué)導(dǎo)思：激勵(lì)喚醒，開啟思維。
思維展開：獨(dú)思互助，交流思維。
應(yīng)用提高：學(xué)以致用，提升思維。
梳理提煉：回顧總結(jié)，優(yōu)化思維。
質(zhì)量檢測(cè)：矯正反饋，拓展思維。
2.“五環(huán)節(jié)”課堂教學(xué)模式的基本涵義：
環(huán)節(jié)一：激學(xué)導(dǎo)思
激學(xué)導(dǎo)思就是“激勵(lì)喚醒，開啟思維”的過(guò)程。教師以課標(biāo)和學(xué)情為依據(jù)，以學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的最佳結(jié)合點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生學(xué)習(xí)情境和思維梯度，把教材和教學(xué)目標(biāo)內(nèi)化為符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的學(xué)習(xí)方案，在教師的誘導(dǎo)下，自主完成預(yù)設(shè)問題的學(xué)習(xí)，初步內(nèi)化學(xué)習(xí)目標(biāo)和內(nèi)容。
環(huán)節(jié)二：思維展開
思維展開是教師在“開啟思維”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步“交流思維、提升思維、優(yōu)化思維”。在這個(gè)過(guò)程中構(gòu)建師生“學(xué)習(xí)共同體”，有效引導(dǎo)共同完成：剖析重點(diǎn)的、突破難點(diǎn)、澄清疑點(diǎn)、補(bǔ)充盲點(diǎn)，既完成預(yù)設(shè)目標(biāo)，又可以生成新的目標(biāo)。學(xué)生不僅體驗(yàn)知識(shí)生成的過(guò)程，而且體現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展的軌跡，展示學(xué)生思維提升的層次。
環(huán)節(jié)三：應(yīng)用提高
這一環(huán)節(jié)是學(xué)生“學(xué)以致用，提升思維”的過(guò)程。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)基礎(chǔ)問題，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課教學(xué)的達(dá)成度，并且引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化與延伸，逐步達(dá)到知識(shí)與方法融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)“發(fā)展思維”的目的。
環(huán)節(jié)四：梳理提煉
“梳理提煉”是師生共同“回顧總結(jié)，優(yōu)化思維”的過(guò)程?！翱偨Y(jié)回顧”既包括對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的梳理，也包括對(duì)數(shù)學(xué)方法的提煉。學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程，總結(jié)和整理出獲取知識(shí)體系、方法體系和解決問題的方略。教師將本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容融入到單元或章節(jié)之中，凝煉獲取知識(shí)方法或思考問題的思路，形成完整的知識(shí)體系和方法體系。
環(huán)節(jié)五：質(zhì)量檢測(cè)
這是“矯正反饋，拓展思維”的階段。通過(guò)檢測(cè)診斷教和學(xué)的質(zhì)量效果，檢測(cè)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度和準(zhǔn)確度，查漏補(bǔ)缺，反饋矯正，進(jìn)一步幫助學(xué)生完成知識(shí)的落實(shí)、方法的內(nèi)化，最終拓展學(xué)生思維向縱深延伸。
四、思意數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐
下面以就“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用”為例談?wù)劇八家鈹?shù)學(xué)”教學(xué)的教學(xué)程序。
導(dǎo)數(shù)這一塊內(nèi)容的教學(xué)分為四個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義；第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算；第三課時(shí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用；第四課時(shí)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。
一、教材分析
1.教材的地位和作用
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)。它在解決數(shù)學(xué)問題中起到工具的作用，其地位十分重要，在近年來(lái)年的高考題都涉及這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，主要用來(lái)解決與函數(shù)相關(guān)的一類問題，難度較大，涉及面廣，如在研究函數(shù)單調(diào)性，討論函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)、求極值和最值、不等式恒成立等。且考查時(shí)有一定的綜合性，并與思想方法緊密結(jié)合，對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法又進(jìn)行了深入的考查，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決這類問題能化繁為簡(jiǎn)，起事半功倍的作用。
2.學(xué)習(xí)目標(biāo)
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步建立利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)問題的意識(shí)。并要掌握以下三個(gè)方面：
（1）理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，極值與最值的關(guān)系。
（2）會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及參數(shù)的取值范圍。
（3）會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值及參數(shù)的取值范圍。
3.重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值與最值。
難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在含參函數(shù)中的應(yīng)用。
二、學(xué)情分析
本節(jié)課是傳媒藝術(shù)班學(xué)生專題復(fù)習(xí)課。本節(jié)課是5月下旬上，學(xué)生越臨近高考越患得患失，太注重結(jié)果，忽視過(guò)程，心態(tài)急躁，急功近利，毛手毛腳，不知所措，并且由于我所任課班級(jí)學(xué)生是傳媒藝術(shù)班的學(xué)生，生源弱，基本功差，但連續(xù)幾次模擬函數(shù)解答題的得分情況讓人十分不滿意，具體暴露的問題挺多，絕大多數(shù)的同學(xué)都出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”解題不規(guī)范的情況，同時(shí)學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)不夠重視，有似懂非懂之感，總認(rèn)為自己會(huì)。為此，我認(rèn)為很有必要把函數(shù)知識(shí)分兩節(jié)課做為專題再次強(qiáng)化。本節(jié)課選擇學(xué)生三道典型函數(shù)試題組，重點(diǎn)是要通過(guò)規(guī)范訓(xùn)練，讓學(xué)生再次增強(qiáng)解決函數(shù)解答題的策略和方法。
三、教學(xué)過(guò)程
（一）激學(xué)導(dǎo)思：激勵(lì)喚醒，開啟思維。
1．判斷函數(shù)單調(diào)性
在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。
2．函數(shù)的極值
(1)判斷f(x0)是極值的方法：
一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，
①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；
②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值。
(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符號(hào)．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值，如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)。
3．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值。
(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。
4.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
(1)f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0時(shí)，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。
5. 函數(shù)的“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系
(1)“最值”是整體概念，是比較整個(gè)定義域或區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對(duì)性；而“極值”是個(gè)局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對(duì)性。
(2)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能一個(gè)沒有。
(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。
(4)有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值。
【設(shè)計(jì)意圖】預(yù)習(xí)之后，學(xué)生自主完成“學(xué)導(dǎo)案”，需要討論解決的做好標(biāo)記。教師上課前將學(xué)生梳理的知識(shí)進(jìn)行分類，確立講解重點(diǎn)。
（二）思維展開：獨(dú)思互助，交流思維。
1.f′(x)>0是f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)的 條件。
2.f′(x)≥0是f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)的 條件。
3.若f′(x)≠0時(shí)，f′(x)>0是f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)的 條件。
4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn) 是極值點(diǎn)，反之極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 為0 .
5.極大值是否一定大于極小值 。極值是局部范圍內(nèi)函數(shù)值的比較，最值是在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)值的比較，極值是否一定是最值 .
（三）應(yīng)用提高：學(xué)以致用，提升思維。
類型一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【例1】 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′3(2).
(1)求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函數(shù)g(x)在x∈[－3，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.
當(dāng)x＝3(2)時(shí)，得a＝f′3(2)＝3×3(2)2＋2a×3(2)－1，解之，得a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.則f′(x)＝3x2－2x－1＝33(1)(x－1)，列表如下：
(3)函數(shù)g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，
有g(shù)′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex
＝(－x2－3x＋c－1)ex，
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在x∈[－3,2]上單調(diào)遞增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．
只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范圍是[11，＋∞)．
梳理提煉：回顧總結(jié)，優(yōu)化思維。
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：
(1)確定函數(shù)的定義域；
(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；
(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來(lái)求解．
類型二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
【例2】設(shè)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－2(1)對(duì)稱，且f′(1)＝0.
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)的極值．
[分析] 由條件x＝－2(1)為y＝f′(x)圖象的對(duì)稱軸及f′(1)＝0求得a，b的值，再由f′(x)的符號(hào)求其極值．
解 (1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
從而f′(x)＝66(a)2＋b－6(a2)，
即y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－6(a)對(duì)稱，
從而由題設(shè)條件知－6(a)＝－2(1)，解得a＝3.
又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，
解得x1＝－2，x2＝1.
當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)＞0，
故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)，f′(x)＜0，
故f(x)在(－2,1)上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，
故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．
從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21，
在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6.
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟：
(1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值。
類型三 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
【例3】已知函數(shù)f(x)＝8(x2)－ln x，x∈[1,3]．
(1)求f(x)的最大值與最小值；
(2)若f(x)<4－at對(duì)任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)∵函數(shù)f(x)＝8(x2)－ln x，∴f′(x)＝4(x)－x(1)，令f′(x)＝0得x＝±2.
∵x∈[1,3]，當(dāng)1
∴f(x)在(1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,3)上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝2(1)－ln 2；又f(1)＝8(1)，f(3)＝8(9)－ln 3，
∵ln 3>1，∴8(1)－(8(9)－ln 3)＝ln 3－1>0，
∴f(1)>f(3)，
∴x＝1時(shí)f(x)的最大值為8(1)，x＝2時(shí)函數(shù)取得最小值為2(1)－ln 2.
(2)由(1)知當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f(x)≤8(1)，
故對(duì)任意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒成立，只要4－at>8(1)對(duì)任意t∈[0,2]恒成立，即at<8(31)恒成立，記g(t)＝at，t∈[0,2]．
∴，解得a<16(31)，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，16(31))．
函數(shù)最值的求解策略：
(1)根據(jù)最值的定義，求在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時(shí)，可將過(guò)程簡(jiǎn)化，即不用判斷使f′(x)=0成立的點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大(小)值。
(2)定義在開區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)，如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)必為最值點(diǎn).
【設(shè)計(jì)意圖】例1主要是從導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系出發(fā)，找出不等式恒成立，通過(guò)分離變量或數(shù)形結(jié)合，解決有關(guān)的參數(shù)的范圍。例2則是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，重點(diǎn)在于熟練求極值方法。例3則是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值與參數(shù)范圍，重點(diǎn)在于熟練求最值方法。三個(gè)例題考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值關(guān)系的理解能力和分析問題簡(jiǎn)化問題的能力。
通過(guò)形式多種多樣的師生、生生的互動(dòng)學(xué)習(xí)、感受交流，老師一是點(diǎn)撥優(yōu)點(diǎn)，指出問題；二是廓清疑團(tuán)，準(zhǔn)確答復(fù)；三是重點(diǎn)點(diǎn)撥，歸納方法；四是科學(xué)評(píng)價(jià)各小組展示情況。教師根據(jù)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及學(xué)生在自學(xué)交流過(guò)程中遇到的問題，進(jìn)行重點(diǎn)講解。
（四）梳理提煉：回顧總結(jié)，優(yōu)化思維。
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的一般步驟：
(1)確定函數(shù)的定義域；
(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；
(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來(lái)求解。
(4)①若求極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢查f′(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)。
②若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況來(lái)求解。
(5)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值。
【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容、解題思路和一般技巧。梳理成線，加深印象；突出易錯(cuò)易混易漏點(diǎn)；強(qiáng)化重點(diǎn)難點(diǎn)提升點(diǎn)。
（五）質(zhì)量檢測(cè)：矯正反饋，拓展思維。
1.設(shè)f(x)＝1＋ax2(ex)，其中a為正實(shí)數(shù)．
(1)當(dāng)a＝3(4)時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)；
(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．
2.已知a為實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．
3. 函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象
在點(diǎn)P(1,0)處的切線與直線3x＋y＝0平行
(1)求a，b；
(2)求函數(shù)f(x)在[0，t](t>0)內(nèi)的最大值和最小值．
4.已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x(2a)，a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值．
5.已知函數(shù)f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)x∈[0,4]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值．
6．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝aex(x＋1)(其中，e＝2.718 28……)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它們?cè)趚＝0處有相同的切線．21·cn·jy·com
(1)求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)在[t，t＋1](t>－3)上的最小值；
(3)若對(duì)?x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
四、教學(xué)反思
本節(jié)課，教師從幾次模擬卷改卷中發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題，得到啟發(fā)，進(jìn)而產(chǎn)生課題。針對(duì)學(xué)生知識(shí)的薄弱點(diǎn)和高考的重點(diǎn)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激活學(xué)生的思維，引發(fā)更深入的探究，生生產(chǎn)生共振。它較好體現(xiàn)教師與學(xué)生都是教學(xué)的主體，教師和學(xué)生通過(guò)各交流，相互溝通和補(bǔ)充，突出教師的“導(dǎo)”和學(xué)生的“學(xué)”，形成師生互教互學(xué)，彼此將成為一個(gè)真正的“學(xué)習(xí)共同體”。應(yīng)該說(shuō)本節(jié)課是一節(jié)利用舊題組展現(xiàn)新課程理念的成功案例。本節(jié)課增強(qiáng)了學(xué)生解決函數(shù)問題的能力和信心。
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