2020年12月16日，冬日暖陽，常州市自覺數(shù)學教育高端成長工作室成員們齊聚常州市勤業(yè)中學聽課教室，圍繞活動（實驗）建模課進行了一次深入的研究。

　上午的第一節(jié)課由飛龍中學的孫梅老師執(zhí)教《折中思、拼中算》。孫老師對三角函數(shù)計算的相關內(nèi)容進行整合，利用等邊三角形和正方形的簡單折疊，引導學生從不同的角度思考了22.5度和15度的三角函數(shù)值算法。整節(jié)課環(huán)環(huán)相扣，運用模型思想，促成了角的轉(zhuǎn)化，重視以學生為主體，以真學定真教，增強了學生的合作意識的同時，也提升了合作能力。

武進區(qū)坂上初級中學 吳秀蘭

    今天我聽了孫梅老師的《折中思，拼中算》一節(jié)活動實驗課，充分感受了折紙的魅力，一張紙片，承載了那么多的數(shù)學知識，通過幾張小紙片，讓枯燥的數(shù)學變得如此美妙，如此有趣，佩服孫老師的智慧與創(chuàng)新。

一、創(chuàng)新源于課標

     新課標提出通過不同形式的自主學習、探究活動體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學知識的能力。孫老師帶領大家經(jīng)過拼、折特殊的圖形（等邊三角形、正方形），得到特殊的角（30o、45o、60o），再次折疊，一般角（15o、75o、22.5o），在原有特殊圖形基礎上，可計算出這些角的三角函數(shù)。讓學生在折、拼中，大大培養(yǎng)了學生的動手能力、探究能力，在思考中，培養(yǎng)了學生空間想象、抽象概括能力，在計算中，鍛煉了學生數(shù)據(jù)處理的能力，所以說，這節(jié)課較高的提升了學生的學習素養(yǎng)，開闊了學生的思維，學到了解決問題的方法。

二、創(chuàng)新源于思考

    教材是從課程到課堂的重要載體，一個優(yōu)秀的教師會結(jié)合學情讀教材，科學地分析教材，藝術(shù)地處理教材。教材上沒有完整的例、習題結(jié)構(gòu)，更沒有現(xiàn)成的套路設計。孫老師將星星點點的題通過個人思考，成功創(chuàng)作成了一個個新、活的師生互動、生生互動的精彩環(huán)節(jié)，所以說孫老師不但研究了教材，對教材進行了較好的整合，更是很好的研究了學生。課堂上，孫老師以等邊三角形、正方形為抓手，引發(fā)學生思考，抓住學生的思維節(jié)點，點撥用等積法、方程等知識解決，步步以學情為依據(jù)，做出引導，學生步步為營，漸進式逼近問題答案。

    數(shù)學活動實驗課，對發(fā)展學生的思維、提升學生的數(shù)學素養(yǎng)具有重要意義。潘校通過一條數(shù)軸，給我們列出了上這類課的步驟，當前盡管相關素材少，但是我們要大膽嘗試，努力開發(fā)一些貼合學生實際的素材，從生活到數(shù)學，從活動到思考，為學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升創(chuàng)設平臺。

常州市武進區(qū)禮嘉中學 高如玉      

    今天聽了飛龍中學孫梅老師執(zhí)教的數(shù)學活動課《折中思，拼中算——三角函數(shù)計算問題》一課。首先就被新穎的課題吸引了眼球，暗自琢磨：只聽過用拼、折等方法學習三角形和特殊四邊形等相關證明和計算，用實驗操作的方法研究三角函數(shù)問題該是怎樣一番景象呢？孫梅老師用45分鐘時間向我們娓娓道來：經(jīng)過拼、折特殊的圖形（等邊三角形、正方形），得到特殊的角（30o、45o、60o），再次折疊，可得非常用的角（15o、75o、22.5o），借助原有特殊圖形可計算出這些角的三角函數(shù)。原本是枯燥無味的大量計算課，被設計成趣味盎然的折紙活動，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的奧秘，激發(fā)了學生的學習自覺，全身心的投入課堂。我分析以下幾個亮點：

一、課前精心準備，學具有效易操作

    這節(jié)課需借助拼、折特殊圖形等方法展開，那么在課前的精心準備就相當必要。課前準備包括教師準備和學生準備。孫梅老師研讀教材和綜合實驗手冊，確定教學的重點難點，并重點研究學生，研究這節(jié)課針對學生而言已知什么，未知什么，應該知道什么，怎么讓學生去操作探究。只有讀懂了學生，選用的教學活動內(nèi)容和形式才能接近學生的生活經(jīng)驗，貼近學生的認知水平，才能讓學生“從自己的生活經(jīng)驗出發(fā)，用自己的眼睛去觀察發(fā)現(xiàn)，用自己的認知水平去感悟，用自己的方式操作探究”。這樣設計才會有針對性，有實效性。

二、課中精準引導，學生自主探究

    有效的數(shù)學學習活動不能單純的依賴模仿和記憶，教師應激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學活動的機會。孫梅老師在實踐活動環(huán)節(jié)充分尊重學生的學習主動性，設計精準的問題串引導學生先折、后思、再說、最后算。孫梅老師創(chuàng)設了既有現(xiàn)實性、可操作性、探究性、挑戰(zhàn)性的機會，又有思考性和開放性的問題引領，學生當然更加主動地投入學習，同時孫老師適時引導學生思維的多面性，引導學生對自己的發(fā)現(xiàn)進行總結(jié)概括，達到解決類似問題的能力。如果老師在課堂上收得太緊，學生可能受到約束無法達到主動動手操作，發(fā)現(xiàn)不了問題。

三、課尾拓展升華，學生“學以致用”

    本節(jié)課，孫老師給學生動手的空間、思考的空間，去探索“折”的妙處，發(fā)揮了學生在活動過程中的主體作用。在課尾放手讓學生自主探索“拼”的功效，這里巧用類比的學習方法，實踐操作，合作交流。雖然時間有些倉促，但教會了學生學習的方法，同時使學生把所學的數(shù)學知識與生活實際相聯(lián)系，在實踐中發(fā)現(xiàn)新問題?，創(chuàng)造性地解決新問題，從而獲得綜合運用所學知識解決簡單實際問題的活動經(jīng)驗和方法，提高學生的綜合素質(zhì)。

     潘校精彩點評時又給我們打開了一扇窗：數(shù)學活動課要讓學生做中學——學中思——思中悟——悟中獲——獲中用。

武進區(qū)潘家初級中學 王向東

     2020年12月16日常州自覺教育工作室在常州市勤業(yè)中學進行課堂教研和專題講座活動，上午有成員孫梅老師的專題課《折中思，拼中算——三角函數(shù)的計算》、吳洋老師的專題課《最小覆蓋圓》、睢亞燕老師的專題講座《建模思想》，下午有沈靜老師的專題講座《極限思想》、沈秋萍的《有效預習策略分析》，整天活動滿滿，收獲多多.上午的兩節(jié)活動建模課讓學生做到了“做中學,學中思,思中悟,悟中獲,獲中用”，下午的講座既有理論引領，又有接地氣的自身實踐教學經(jīng)驗，讓老師們知識和感悟又有了新的提升.

    下面對孫老師的活動建模課《折中思，拼中算——三角函數(shù)的計算》談談個人的收獲：

    "數(shù)學活動建模"課,是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,提高學生綜合素質(zhì)的新途徑.孫老師設計的每一個實驗活動都是從“布置探究任務——學生動手操作——自我發(fā)現(xiàn)——小組交流，形成結(jié)論——組組展示——師引生導，歸納結(jié)論”流程結(jié)構(gòu)入手讓學生自己得出知識和能力，整堂課學生參與度高，動手動腦都得到了很好的發(fā)展，使學生的核心素養(yǎng)在課堂中落地生根。

     數(shù)學活動建模課改變傳統(tǒng)的學科教學和學習方式，“做中學，學中做”，實踐能力不是通過書本知識的傳遞來獲得發(fā)展，而是通過學生自主地運用多樣的活動方式和方法，嘗試性地解決問題來獲得發(fā)展的.課堂上學生要通過自己動手，在實踐中觀察和思考，以悟得新知；同時將習得的知識與具體的生活實踐相聯(lián)系，學以致用，活學活用.

    活動建模課的實施在于教師設計的多樣任務問題的驅(qū)動，讓學生圍繞實際行動的活動任務進行方法實踐，這樣學生就有基本“學力”的內(nèi)驅(qū).活動建模課的效果關鍵在于將學生的“說”與“做”統(tǒng)一起來，“做”的過程是活動的生命力所在，如果學生不在做事中學，就會變成只有理論學習沒有實踐，甚至是變得連理論學習都沒有，無論是哪一種，只要不是做中學，就都是低效甚至是無效的；老師如果不在做上教，就必然會變成了理論教學或是為了教學而教學的行為，無論是哪一種，舍教學做合一的方法之外的其他教學方法都是低效或是無效的.

     同時為了防止學生實踐活動“形式化”的傾向，教師在課堂上必須千方百計地為學生創(chuàng)設各種有利于實踐、體驗的環(huán)境，讓學生動手做，通過具體實踐活動，讓設想成為現(xiàn)實，只有讓學生在活動過程中實實在在“做”起來，才能培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力，發(fā)展學生的綜合素質(zhì),最后要注意實驗要及時歸納總結(jié)以提升學生知識和能力培養(yǎng).

     我想我們只有在以后的教學研究中更多地深入和實踐研究，才能使學生的數(shù)學素養(yǎng)在平時的課堂中慢慢滲透，學生的素養(yǎng)培養(yǎng)是一個漸進的過程、積累的過程、動態(tài)的過程，在教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握知識、思想方法,科學地去引導學生歷經(jīng)直觀體驗，通過平時教學的潛移默化并獲取數(shù)學知識，才能有效提升學生的數(shù)形結(jié)合能力，最終形成深厚的數(shù)學素養(yǎng).

　 第二節(jié)課由清潭中學的吳洋老師執(zhí)教《最小覆蓋圓》。吳老師巧設實驗，利用實驗的手冊中學具，引導學生會觀察、勤思考、善表達，從最簡單的圖形線段入手，重點研究了三角形的最小覆蓋圓問題。整節(jié)課層層遞進，借助自覺思維，觸發(fā)學生的認知沖突，激活了學生思維，促進了學生問題解決能力的培養(yǎng)，發(fā)展了學生的核心素養(yǎng)。

常州市田家炳初級中學 沈秋萍

    今天聽了吳洋老師的最小覆蓋圓，收獲頗多，感謝吳老師的精心準備。

    這是一個動手實驗的課堂，與接受性學習相比，探究性學習更注重方法的傳授和情感的培養(yǎng)以及能力的培養(yǎng)，整節(jié)課以問題為主線，探究問題均由淺入深，先探究線段的最小覆蓋圓，學生動手操作后很容易理解，也很容易上手; 接著再分別探究直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的最小覆蓋圓問題; 遺憾時間關系沒能在此研究的基礎上繼續(xù)探究四邊形的最小覆蓋圓的問題，最后運用學生自己總結(jié)出的四邊形最小覆蓋圓的結(jié)論解決實際問題，整節(jié)課問題層層推進，同時又保持了適當?shù)摹熬嚯x”，學生既不能輕易“得手”，又不覺得無計可施，使探究更具有操作性.

    本節(jié)課教學難點是銳角三角形和鈍角三角形最小覆蓋圓的探究，最好進而類比探索四邊形的最小覆蓋圓問題，蘊涵著分類思想和數(shù)形結(jié)合思想，從特殊到一般，轉(zhuǎn)化思想等，從中可以體會到數(shù)學知識探究的全過程. 整堂課的教學以學生探究為主、并在探究形成結(jié)論的基礎上，引導學生予以歸納和應用. 在整個教學過程中，吳老師是學生學習的合作者、傾聽者，每時每刻關注著每一位學生的思維變化和探究過程，真正做到了讓學生自己去探究、讓學生通過小組合作去學習，在不知不覺中知識和能力漸漸形成.

    當然，數(shù)學的學習應該是以思維活動為核心的學習，在數(shù)學教學過程中，教師的重要任務就是培養(yǎng)和激發(fā)學生的探究欲望，尋求問題的發(fā)展、解決過程. 以探究 方式組織好學生的學習應該是一種比較高效的學習方式，怎樣使學生能經(jīng)常處于一種積極探究的活動之中，讓學生在探究中有效地學習，是我們每一位教育工作者 為之而努力的目標.

    最后自己的一點建議：從直角三角形到銳角三角形到鈍角三角形的最小覆蓋圓最好能作為一個變式讓學生思維深入思考，從而找到問題的本質(zhì)并進行歸納。

常州市新北區(qū)浦河實驗學校 眭亞燕

    教育需要創(chuàng)新,教學需要求新,教研需要走心。根據(jù)潘建明導師的培養(yǎng)計劃，針對數(shù)學綜合實踐活動的教學與評價是基礎教育的短板,如何開展好這樣的課型？特意安排吳洋老師挑戰(zhàn)了一節(jié)綜合實踐課——《最小覆蓋圓》。本節(jié)課精彩紛呈，亮點頗多：

一、美圖情境，詮釋育才先育人

    育才，是教師的基本職責；育人，是教師的神圣使命。在吳洋老師的課堂上，數(shù)枚不同年代、大小不一、顏色各異、外圓內(nèi)方的銅板一下子吸引了學生的眼球，更讓人欽佩的是吳洋老師別具匠心地配文：“外圓內(nèi)方，比喻人表面隨和，內(nèi)心嚴正. 做人要方圓并用，外圓內(nèi)方才是境界。記得德國一位學者有過一個精辟的比喻：將15克鹽放在你的面前，你無論如何也難以下咽。但將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你早就在享用佳肴時，將15克鹽全部吸收了。情境之于知識，猶如湯之于鹽。鹽需溶入湯中，才能被吸收；知識需要溶入情境之中，才能顯示出活力和美感。吳洋老師精心創(chuàng)設的美圖情境，在育人的同時瞬間把學生帶入了本節(jié)課的主題。

二、遞進操作，一實驗得一模型

    吳老師遞進式地精心設計了三個實驗——覆蓋線段、覆蓋三角形、覆蓋四邊形。在每個實驗中，吳老師引領學生經(jīng)歷“問題引領、動手操作、猜想結(jié)果、畫圖驗證、模型提煉”五個步驟，分別提煉出三個實驗的模型：線段的最小覆蓋圓是以該線段為直徑的圓；銳角三角形的最小覆蓋圓是它的外接圓、直角三角形的最小覆蓋圓是它的外接圓或者是以斜邊（最長邊）為直徑的圓、鈍角三角形的最小覆蓋圓是以它的最長邊為直徑的圓；以最長的對角線為直徑的圓。整節(jié)課吳老師循循善誘，積極引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學奇妙之處與其發(fā)展規(guī)律，激發(fā)學生對數(shù)學模型的興趣，也激發(fā)了學生帶著問題解決問題的能力，整個過程使學生在學習過程中主動建立數(shù)學模型思想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的神奇力量。

三、思想方法，助力高效課堂構(gòu)建

    本節(jié)課通過對線段、三角形的最小覆蓋圓的探索，進而類比探索四邊形的最小覆蓋圓問題，其中蘊涵著分類思想、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、化歸思想等，從中體會到數(shù)學知識探究的全過程。整堂課的教學以學生探究為主、并在探究形成結(jié)論的基礎上，引導學生予以歸納和應用。在整個教學過程中，教師扮演的角色始終是“導演”，學生是“演員”； 教師是“教練”，學生是“運動員”； 教師是學生學習的合作者、傾聽者，每時每刻關注著每一位學生的思維變化和探究過程，真正做到了讓學生自己去探究、讓學生通過小組合作去學習，從而在不知不覺中漸漸形成知識和能力。

常州市正衡中學 朱祥生

    伴隨著前幾日的零星小雪，常州進入了凌冽的寒冬，但是得益于自覺教育名師工作室提供的這次寶貴的學習機會，讓我有幸來到美麗的勤業(yè)中學參加本次研討活動，聽了兩位老師精彩的示范課，使我感受頗深，受益匪淺，內(nèi)心更是充滿溫暖。今天我主要從吳洋老師的課來分享一下我的感悟。

    吳老師這節(jié)課是一節(jié)實驗活動課，她的教學設計能根據(jù)數(shù)學新課標的基本理念，精心設計學生的數(shù)學實驗活動，教學過程具有相當鮮明的特點。主要體現(xiàn)在以下幾點：

一、注重對學生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)

    吳老師本節(jié)課隨處滲透著對學生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，她注重引導學生觀察、比較、討論、交流、總結(jié)，從中國古代的銅錢引入，既與本課的最小覆蓋圓完美契合，又滲透了中國古文化熏陶，增強學生民族自豪感。再如在教學中，每當學生出現(xiàn)錯誤的時候，吳老師不急于否定他的答案，而是讓學生充分討論，自我辨析，自我糾錯，充分培養(yǎng)學生勇于質(zhì)疑、積極探索、自我成長的品質(zhì)。

二、由簡單到復雜，從特殊到一般

    最小覆蓋圓的探索是復雜的過程，吳老師從學生最易理解的線段入手，從為什么線段的最小覆蓋圓是以線段為直徑的圓出發(fā)，由淺入深的引導學生進行思維的碰撞，過程中充分的給予學生思維想象的空間，而開拓學生的思維想象空間是開放性教學的核心，唯有學生的思維空間被打開，思維被激活，學生的主體性才得以弘揚，學生的創(chuàng)新精神才有可能得到培養(yǎng)。在三角形的最小覆蓋圓教學中也是從最簡單也是最特殊的直角三角形開始，逐步引入到銳角三角形和鈍角三角形，使學生易于接受，且對知識活學活用，掌握的更加扎實。

三、設置懸念，激發(fā)了學生的想象空間

    在本節(jié)課的教學過程中，吳老師注重將靜態(tài)的實驗材料變成動態(tài)的活動內(nèi)容，讓學生在做中學，在學中思，在思中悟，在悟中獲，在獲中用。教學中，引導學生觀察中分析，在分析中點撥，從而進一步調(diào)動學生的學習興趣，努力做到教法、學法的最優(yōu)結(jié)合，使全體學生都能參與探索新知的過程。

     吳老師在教授“鈍角三角形最小覆蓋圓是最長邊為直徑的圓”這一知識點時，并不是一味的灌輸，而是在很多學生出現(xiàn)了誤以為鈍角三角形最小覆蓋圓是它的外接圓的錯誤時，讓學生展開辯論，最終達成正確的共識。這一環(huán)節(jié)不僅提升了學生對數(shù)學的學習興趣，更加深了學生對該知識點的理解，由此激發(fā)了學生的思維能力與表達能力。

    聽了這兩節(jié)課，特別是之后的潘校的點評，我深刻地反思了自己的教學過程，感慨萬千，在今后的教學中，我還要多斟酌自己的教學設計，優(yōu)化教學環(huán)節(jié)，爭取使自己的課堂更加高效。

常州市新北區(qū)呂墅中學 鄭金華

    今天吳洋老師上了一節(jié)《最小覆蓋圓》，非常精彩，收獲多多。

    這是一節(jié)數(shù)學活動建模課，要求學生做到“做中學，學中思，思中悟”，細化來講，就是學生要動手親自操作，動腦積極探索，動口有序表達。此外，因為沒有教材可以參考，沒有教輔可以參照，因此，這節(jié)課對老師的要求也很高，要求設計精準、有效的數(shù)學活動來推進學生的深度學習。

一、導入有新意

    本節(jié)課從古銅板導入，學生看到了“外圓內(nèi)方”的銅板后。動手操作，用實驗手冊上的圓和正方形拼一個銅板的樣子，從而引入今天研究的內(nèi)容“覆蓋圓”，緊接著用極限的思想，在覆蓋圓中選擇逐漸接近半徑最小的那一個，就進入我們研究的主題“最小覆蓋圓”。然后從最簡單的圖形——線段開始研究。在這里，可以設計一個接近學生生活的情景，嘗試用數(shù)學的方法解決生活的問題：“小紅的一件外套被釘子撕了一道，現(xiàn)在要用一個圓形的布料將此劃口補上（接縫處不計），那么這個圓形的布料至少需要多大呢？從而讓學生體會到數(shù)學研究的內(nèi)容來源于生活，服務于生活，實現(xiàn)數(shù)學的應用價值。

二、探究有側(cè)重

    探究三角形的最小覆蓋圓時，應著重引領學生研究直角三角形的情況，對于銳角和鈍角，建議可以讓學生先嘗試畫一畫任意一個銳角三角形和鈍角三角形的最小覆蓋圓，并讓學生說一說三角形的最小覆蓋圓有什么規(guī)律，寫一寫你所得到的規(guī)律。當然對于銳角和鈍角，還可分組探究，全班四大組，兩組探究銳角的，兩組探究鈍角的，這樣不僅能節(jié)省一半的時間放于后面學習特殊四邊形的最小覆蓋圓，更能放手鍛煉學生的操作能力和實驗精神，培養(yǎng)學生的參與意識和探索創(chuàng)新能力。

三、內(nèi)容有層次

    一個點，任意一個圓都是它的覆蓋圓，點沒有大小，因此沒有辦法探究其最小覆蓋圓；兩個點，連成一條線段；三個點（不在同一直線上），構(gòu)成一個三角形；四個點（任意三點都不在同一直線上），構(gòu)成一個四邊形......從點到線段到三角形到四邊形到......都能探究其最小覆蓋圓，本節(jié)課的教學內(nèi)容主線明晰，板塊合理，梯度推進，環(huán)環(huán)相扣，從簡單到復雜，從特殊到一般，結(jié)構(gòu)化建構(gòu)了最小覆蓋圓的模型。由于時間關系，本節(jié)課沒能完成預定內(nèi)容，在時間的分配上如果更合理一些就更好了。

    本節(jié)課的亮點很多，比如不僅關注知識技能的傳授，還有數(shù)學思想方法的滲透；比如留有充足的時間給學生操作、展示、表達，體現(xiàn)了學生為主體，教師為主導的教學理念；比如在課堂上給學生設有很多思辨的機會，發(fā)展學生思維的深度、廣度，培養(yǎng)學生思維的深刻性......不再一一列舉，受到很多啟發(fā)，繼續(xù)學習與前行。

    課后，兩位上課老師詳細闡述了上課的構(gòu)思和想法。王向東、潘海波和趙霞三位老師也談了自己聽課的感受和想法，并對課堂中的流程框架進行了簡單探討。

    最后潘建明導師對兩節(jié)課進行了精準的評講，并總結(jié)了活動（實驗）建模課的結(jié)構(gòu)流程。

　每次“自覺”教研活動都是饕餮大餐，工作室成員總是收獲頗豐，讓我們一起期待下次活動的到來。